Atividade: Efeito da Fase e Sistemas Radar

Entregue os resultados na forma de um Jupyter Notebook, via Moodle, com todo o código, resultados (figuras e arquivos extras, se necessário), análise e conclusões.

Até o momento, nos preocupamos apenas com a magnitude da resposta em frequência de filtros seletores de sinais. Nesta atividade, iremos analisar o efeito da fase.

Fase da resposta em frequência de um filtro analógico

Considere um filtro passa-baixas analógico RC de 1a. ordem, com R=6,8 k$\Omega$ e C=22 nF.

A. Qual a frequência de corte deste filtro?

B. Qual a magnitude da resposta em frequência exatamente na frequência de corte?

C. Qual a fase da resposta em frequência exatamente na frequência de corte?

D. Monte esse filtro no VISIR e meça a magnitude na frequência de corte. Mostre as imagens do osciloscópio e explique como você chegou nos resultados.

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Resposta:

A magnitude do filtro RC na frequência de corte é igual a 0,7095761381475667, resultado da equação $\frac{V_{o}(j \omega_{c})}{V_{i}(j \omega_{c})}$. Onde a tensão de pico de entrada, $V_{i}(j \omega_{c})$, é 2,548 V e a tensão de pico de saída, $V_{o}(j \omega_{c})$, é 1,808 V.

E. Ainda no VISIR, meça o atraso de fase na frequência de corte. Mostre as imagens do osciloscópio e explique como você chegou nos resultados.

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$\mathrm{arg} \, H(j\omega_{c}) = -44,71º$

Resposta:

O atraso de fase do filtro RC na frequência de corte é igual a -44,71º. Esse valor pode ser obtido diretamente da função measure selecionado na opção phase no osciloscópio, no que o sinal de entrada foi escolhido na comparação com a saída. Outra maneira para verificar a fase é medir manualmente a diferença dos instantes de tempo entre o sinal de entrada e o de saída, e realizar a razão entre essa diferença e o período de qualquer sinal enquanto é comparado com a razão do atraso de fase e do ângulo de um ciclo completo.

F. Qual o atraso de fase para uma frequência 10 vezes menor que a frequência de corte?

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$\mathrm{arg} \, H \left( \frac{j\omega_{c}}{10} \right) = -5,333º$

Resposta:

O atraso de fase do filtro RC na década antes da frequência de corte é igual a -5,333º. Similar ao item anterior, esse valor foi obtido diretamente da função measure selecionado na opção phase no osciloscópio, no que o sinal de entrada foi escolhido na comparação com a saída.

G. Qual o atraso de fase para uma frequência 10 vezes maior que a frequência de corte?

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Resposta:

O atraso de fase obtido do filtro RC na década após a frequência de corte é igual a -81,84º. Similar aos itens anteriores, esse valor foi obtido diretamente da função measure selecionado na opção phase no osciloscópio, no que o sinal de entrada foi escolhido na comparação com a saída. No entanto devido a baixa magnitude do sinal de saída, o sinal é afetado pelo ruído presente no ambiente, o que modifica a sua medida de atraso da fase. Caso se faça a medida manual, em que foi encontrado uma diferença de 22 microssegundos, o valor de atraso da fase é de, aproximadamente, -84,26º.

Projete um filtro IIR equivalente ao analógico. Use a função rc_filter de https://www.dsprelated.com/showcode/199.php, considerando frequência de amostragem de 22050 Hz.

H. Quais coeficientes você obteve para esse filtro IIR?

I. A partir dos coeficientes, mostre os gráficos de magnitude e fase. Comente os resultados, comparando com os valores e medições do filtro analógico.

Resposta:

Foram obtidos praticamente os mesmos valores de magnitude e de fase na frequência de corte mas a limitação da largura de banda superior do filtro digital afeta a sua resposta em frequência próxima a metade da frequência de amostragem quando comparada ao filtro analógico.

Sinal de Radar

Considere a situação em que um sinal de radar é corrompido por ruído aditivo que ocupa uma banda de frequências distinta daquela do sinal. Para recuperar o sinal de interesse, é necessário aplicar um filtro. Entretanto, como há requisitos temporais a atender para a identificação do tempo de atraso a partir do sinal refletido, é importante que o filtro não distorça o sinal recebido. Isso será explorado nesta atividade.

Atraso de Grupo

Uma figura de mérito usada para verificar as distorções de fase de um sistema é o atraso de grupo, definido como

$\tau (\omega) = \mathrm{grd} [H(e^{j\omega})] = - \frac{\mathrm{d} [\arg H(e^{j\omega})]}{\mathrm{d}\omega}$

Verifique qual é o atraso de grupo do sistema atraso ideal ([1] p. 168, capítulo 5, Análise no domínio transformado de sistemas LIT, seção 5.1.1, Fase e atraso de grupo da resposta em frequência, figura em anexo).

Resposta:

Considerando um sistema de atraso ideal como em [1]:

\begin{equation} h[n] = \delta[n-n_{d}] \end{equation}

Cuja resposta em frequência é:

\begin{equation} H(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cdot n_{d}} \end{equation}

Com isso a sua resposta em frequência da sua fase é:

\begin{equation} \arg H(e^{j\omega}) = - \omega \cdot n_{d} \end{equation}

E pela definição anterior de atraso de grupo:

\begin{align} \tau(\omega) &= - \frac{\mathrm{d} [\arg H(e^{j\omega})]}{\mathrm{d}\omega} \\ \tau(\omega) &= - \frac{\mathrm{d} [- \omega \cdot n_{d}]}{\mathrm{d}\omega} \nonumber \\ \tau(\omega) &= n_{d} \nonumber \end{align}

A atividade seguinte foi adaptada de [2]. Carregue o arquivo de dados gdeldata.mat. No Python, use a função loadmat do módulo scipy.io (documentação).

Considere o sinal apresentado no vetor x1. Esse sinal será corrompido por ruído aditivo, mostrado, para fins didáticos, no vetor noise.

J. Observe a faixa de frequências que o sinal e o ruído ocupam. É possível projetar um filtro que recupere o sinal?

Resposta:

Sim, é possível projetar um filtro passa-baixas, já que a faixa de frequência ocupada pelo sinal e pelo ruído são diferentes.

Fase em Filtros FIR e IIR

Dois filtros foram projetados. O filtro $H_1(z)$, de resposta finita ao impulso, é representado por sua resposta ao impulso no vetor h. Já $H_2(z)$, um filtro IIR, é representado por dois vetores de coeficientes, a e b.

K. Confirme que os dois filtros apresentam resposta em magnitude que permite a recuperação do sinal de interesse. Sobreponha as respostas de cada filtro em um único gráfico.

Resposta:

Ambos são filtros passa-baixas capazes de recuperar o sinal de interesse.

Observe a resposta ao impulso do filtro FIR.

L. É simétrica? Que informação sobre a fase é possível estimar a partir dessa resposta ao impulso? Calcule e mostre o atraso de grupo desse filtro (no Python, com scipy.signal.group_delay).

Resposta:

A resposta ao impulso é simétrica, isso significa que a resposta em frequência da fase é linear. O atraso de grupo constante comprova isto.

M. Calcule e mostre o atraso de grupo do filtro IIR.

Filtre o sinal $x_1(n)$ usando cada um dos filtros.

N. Desenhe e analise os sinais de saída.

Resposta:

Os dois sinais filtrados apresentam atraso, porém o sinal filtrado por IIR tem um maior atraso e maiores distorções.

Distorção de Pulso

Filtre o sinal pulse com cada um dos filtros.

O. Desenhe e analise os sinais de saída.

Resposta:

Similar ao item anterior o filtro IIR apresenta não apenas atraso mas como distorções devido a sua não linearidade da fase, e no filtro FIR há apenas um atraso.

Remoção de Ruído de um Pulso

Filtre o sinal pnd_1 com cada um dos filtros.

P. Desenhe os sinais de saída e estime o tempo de atraso do pulso de cada um dos sinais resultantes. Explique qual o melhor filtro, FIR ou IIR, para essa aplicação.

Resposta:

O pulso filtrado por FIR possui um atraso de 16 amostras, como visto nos itens anteriores. Já o pulso filtrado IIR possui um atraso estimado de 31 amostras obtidas a partir do gráfico acima. Visto que o filtro IIR possui grandes distorções e um maior atraso do sinal original, o filtro FIR é o mais adequado. Isso se deve à fase linear do filtro FIR.

Mais informações

Para uma visão geral gráfica sobre sistemas radar, confira as Figuras 1-1, 1-2 e 1-3 de [3]. Sobre filtros casados, utilizados em sistemas radar, são interessantes os exemplos de [4].

Referências

[1] Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. Processamento em tempo discreto de sinais. 3. ed. São Paulo:Pearson, 2012.

[2] ECE 535 Digital Signal Processing: Matlab Assignment 3: Group Delay, Spring 2001. Disponível em: https://ece.gmu.edu/~kwage/courses/ece535/spr01/matlab/proj3.pdf

[3] ROHDE&SCHWARZ Pulsed RADAR signal generation and measurements : Educational Note 1MA234_0e. Disponível em: https://cdn.rohde-schwarz.com/pws/dl_downloads/dl_application/application_notes/1ma234/1MA234_0e_PulsedRadarEduNote.pdf

[4] WIKIPEDIA. Matched Filter: Examples. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Matched_filter#Examples